Nguyên hàm của ln x

     

1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác minh trên K. Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K ví như F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của ln x

2. đặc điểm nguyên hàm

Nguyên hàm bao gồm 3 tính chất đặc biệt cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng cách làm nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm

a) Đổi biến đổi tổng quát

Bước 1: lựa chọn t = φ(x). Trong số đó φ(x) là hàm số nhưng ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu lộ f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi ấy $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: lúc ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dạng 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để đặt u và dv: kiếm được v dễ dàng và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: sản phẩm công nghệ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, hai đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, lượng chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tìm kiếm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình vẫn hướng dẫn giải pháp bấm máy tính nguyên hàm cấp tốc theo 3 bước sau:

Bước 1: thừa nhận shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: thừa nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bởi 0 ) thì đó là đáp án bắt buộc chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm trang bị tính

Bước 1: Nhập vào máy tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A với C nếu cho X = 2 thì rất nhiều cho kết quả là 0. Vậy khi gồm trị tuyệt đối thì mang lại X một giá bán trị đến biểu thức trong trị tuyệt vời âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Xem thêm: Lấy 5 Ví Dụ Chuỗi Thức Ăn - 2 Ví Dụ Về Lưới Thức Ăn ( Biển

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một nhiều thứcTa lựa lựa chọn 1 trong hai biện pháp sau:

Cách 1: sử dụng nguyên hàm từng phần, thực hiện theo công việc sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: thế vào cách làm nguyên hàm từng phần.Bước 3: thường xuyên thủ tục như trên ta vẫn khử được bậc của nhiều thức.

Xem thêm: 7 Bài Thuyết Minh Về Tác Gia Nguyễn Du Siêu Hay, Thuyết Minh Về Tác Giả Nguyễn Du Hay Nhất

Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, triển khai theo công việc sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong số ấy $A(x)$ và $B(x)$ là các đa thức cùng bậc với $P(x).$ Bước 2: mang đạo hàm nhị vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác minh được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: giả dụ bậc của nhiều thức to hơn $3$ thì phương pháp 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của nhiều thức, vì vậy ta đi đến nhận định và đánh giá như sau:

Nếu bậc của đa thức bé dại hơn hoặc bằng $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của nhiều thức to hơn hoặc bằng $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo thừa nhận xét trên, ta sử dụng cách thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng tuyệt nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$