Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. định nghĩa dạng toàn phương:

1.1 Định nghĩa: Dạng toàn phương n trở thành

*
là một trong những hàm bậc nhì dạng:

*
(1)

với những hệ số

*
là những số thực và những biến
*
là những biến thực.

Bạn đang xem: đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao

Nếu ta ký hiệu:

*
, A = \left< \beginarraycccc a_11 & a_12 & \ldots & a_1n \\ a_21 & a_22 & \ldots & a_2n \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_n1 và a_n2 & \ldots & a_nn \\ \endarray \right> , a_ik = aki " class="latex" /> , chăm chú A là ma trận đối xứng.

Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương sống dạng ma trận sau:

*
(các chúng ta cũng có thể kiểm tra bằng phương pháp nhân trực tiếp)

Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạng toàn phương gồm dạng ma trận đối xứng.

Ví dụ 1: mang lại hàm bậc hai

*
. Rõ ràng, f(x) là dạng toàn phương. Ma trận A có dạng:
*
" class="latex" />

Ví dụ 2: mang lại hàm bậc nhị

*
. Rõ ràng, g(x) là dạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương tất cả dạng:
*
" class="latex" />

1.2 Dạng toàn phương thiết yếu tắc:

Một dạng toàn phương chủ yếu tắc là dạng toàn phương nhưng trong biểu thức xác minh không chứa các tích

*
mà lại chỉ chứa các số hạng bình phương
*

Nghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là 1 ma trận chéo.

Xem thêm: Lịch Ngày Tốt Tháng 5 Năm 2021 Dương Lịch, Xem Ngày Tốt Tháng 5 Năm 2021

Ví dụ:

*
là một dạng toàn phương chủ yếu tắc.

2. Đưa dạng toàn phương về dạng bao gồm tắc:

2.1 phương thức ma trận trực giao:

Từ tư tưởng của dạng toàn phương chủ yếu tắc, ta thấy nếu gửi ma trận của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo cánh thì tức là ta sẽ chuyển được dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.

Mặt khác, A là ma trận đối xứng đề xuất ta gồm A luôn có n cực hiếm riêng thực, và các VTR ứng với các giá trị riêng khác nhau đều trực giao với nhau. Khi đó, nếu p. Là ma trận trực giao chéo hóa ma trận A với D là dạng chéo cánh của A thì ta có:

*
(trong đó
*
). Vậy hoàn toàn có thể chuyển A về dạng chéo cánh , nghĩa là gửi dạng toàn phương về dạng chính tắc

Định lý:

Cho dạng toàn phương

*
, với A là ma trận vuông đối xứng cung cấp n với những giá trị riêng rẽ
*
và p. Là ma trận trực giao làm chéo cánh hóa A:
*

Khi đó, bằng cách đổi đổi mới

*
ta gửi dạng toàn phương về dạng chính tắc sau:

*

Chứng minh:

Thật vậy ta đặt :

*

Ta có:

*

Rõ ràng

*

Vậy ta chỉ cần chéo cánh hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương và triển khai phép thay đổi biến, ta sẽ mang đến dạng toàn phương chính tắc.

Xem thêm: Điểm Thi Học Kì 1 Và Học Kì 2 Của Bạn Hùng Đối Với Các Môn Thi

Ví dụ: mang lại dạng toàn phương

*

Ma trận của dạng toàn phương là:

*
" class="latex" />

Giải phương trình đặc trưng của ma trận A, ta bao gồm ma trận A tất cả 2 quý hiếm riêng

*
là nghiệm kép.

Với

*
Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:
*

Hay ta có hệ phương trình:

*

Từ đó : VTR bao gồm dạng:

*
và ta bao gồm 2 VTR chủ quyền tuyến tính là:
*

Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn:

*
, c_2 = \left<\beginarrayr \dfrac1\sqrt6 \\ \dfrac1\sqrt6 \\ \dfrac2\sqrt6 \\ \endarray \right> " class="latex" />

Với

*
Vectơ riêng rẽ ứng cùng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:
*

Hay ta tất cả hệ phương trình:

*

Giải hệ này ta được VTR có dạng:

*
với ta có một VTR hòa bình tuyến tính là:
*
. Rõ ràng,
*

Chuẩn hóa vectơ

*
ta có:
*
" class="latex" />

Vậy dạng toàn phương thiết yếu tắc là:

*

Và ma trận p. Có dạng:

*
" class="latex" />

Và phương pháp đổi vươn lên là là:

*
= P^T . \left<\beginarrayc x \\ y \\ z \\ \endarray \right> " class="latex" />

Hay:

*

Nhận xét: phương thức trực giao hóa đòi hỏi phải tìm các giá trị riêng. Đây là việc khá cực nhọc khăn đối với phương trình bậc cao không tồn tại nghiệm sệt biệt. Vì chưng vậy, phương thức này hay chỉ áp dụng cho dạng toàn phương 2 biến, 3 biến đổi hoặc 4 biến. Mặc dù nhiên, cách thức này đã đặc biệt có ích khi họ nghiên cứu các đường và mặt bậc 2 trong không khí 3 chiều (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)