Công thức đạo hàm cấp cao

     
Bài viết này dongan-group.com.vn trình làng đến chúng ta đọc phương pháp Tính đạo hàm với vi phân cấp cao của hàm số

*

1. Một số trong những công thức đạo hàm v.i.p của hàm số thường gặp

$eginarrayl y = sin (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^nsin left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = cos (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^ncos left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = frac1ax + b Rightarrow y^(n)(x) = frac( - 1)^na^n.n!(ax + b)^n + 1\ y = e^ax + b Rightarrow y^(n)(x) = a^ne^ax + b.\ y = (ax + b)^alpha Rightarrow y^(n)(x) = a^nalpha (alpha - 1)...(alpha - n + 1)(ax + b)^alpha - n endarray$

2. Công thức Lepnit tính đạo hàm cao cấp của hàm số tích

Cho những hàm số $y=u(x),y=v(x)$ bao gồm đạo hàm đến cung cấp $n$ khi đó $left< u(x).v(x) ight>^(n)=sumlimits_k=0^nC_n^ku^(k)(x)v^(n-k)(x).$

3. Những ví dụ minh hoạ

Câu 1. Tính đạo hàm $f^(50)(x)$ với $f(x)=(2x^2+x+1)e^5x+2.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(50)(x) = sumlimits_k = 0^50 C_50^k(2x^2 + x + 1)^(k)(e^5x + 2)^(50 - k) .\ = 5^50(2x^2 + x + 1)e^5x + 2 + 50(4x + 1)5^49e^5x + 2 + 1225.4.5^48e^5x + 2. endarray$

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac1+xsqrt1-x.$ Tính $f^(100)(0).$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = dfrac1 + xsqrt 1 - x = dfrac2 - (1 - x)sqrt 1 - x = 2(1 - x)^ - dfrac12 - (1 - x)^dfrac12.\ f^(100)(x) = 2left< ( - 1)^100left( - dfrac12 ight)left( - dfrac12 - 1 ight)...left( - dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^ - dfrac12 - 100 ight>\ - left< ( - 1)^100left( dfrac12 ight)left( dfrac12 - 1 ight)...left( dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^dfrac12 - 100 ight>\ = dfrac3.5...1992^99(1 - x)^ - dfrac2012 + dfrac3.5....1972^100(1 - x)^dfrac1972. endarray$

Do đó $f^(100)(0)=dfrac3.5...1972^100(199.2+1)=399dfrac(197)!!2^100,$ trong những số đó $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$

Câu 3. Tính $f^(100)(x)$ biết $f(x)=x^2cos x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(100)(x) = sumlimits_k = 0^100 C_100^k(x^2)^(k)(cos x)^(100 - k) \ = x^2cos left( x + frac100pi 2 ight) + 100.2x.cos left( x + frac99pi 2 ight) + 4950.2.cos left( x + frac98pi 2 ight)\ = x^2cos x + 200xsin x - 9900cos x. endarray$

Câu 4.

Bạn đang xem: Công thức đạo hàm cấp cao

Tính đạo hàm cấp cao $y^(5)(x)$ của hàm số $y=ln (2x^2-x).$

Giải. Ta có: $y"=dfrac4x-12x^2-x=dfrac4x-1x(2x-1)=dfrac42x-1-dfrac1x(2x-1)=dfrac42x-1-left( dfrac22x-1-dfrac1x ight)=dfrac22x-1+dfrac1x.$

Vậy $y^(5)(x)=left( dfrac22x-1+dfrac1x ight)^(4)=2dfrac2^4(-1)^44!(2x-1)^5+dfrac(-1)^44!x^5=24left( dfrac32(2x-1)^5+dfrac1x^5 ight).$

Câu 5. Tính đạo hàm cấp cao $f^(100)(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac1x^2-x+1.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = frac1left( x - frac12 ight)^2 + frac34 = frac1left( x - frac12 ight)^2 - left( fracsqrt 3 2i ight)^2 = frac1sqrt 3 ileft( frac1x - frac12 - fracsqrt 3 2i - frac1x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight).\ f^(100)(x) = frac1sqrt 3 ileft( frac( - 1)^100100!left( x - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac( - 1)^100100!left( x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight)\ f^(100)(0) = frac100!sqrt 3 ileft( frac1left( - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac1left( - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight) = frac100!sqrt 3 i( - sqrt 3 i) = - 100! endarray$

Bước cuối độc giả thay dạng lượng giác số phức vào để rút gọn.

Xem thêm: Trình Bày Tư Tưởng Hồ Chí Minh Về Đại Đoàn Kết Dân Tộc, Tư Tưởng Hồ Chí Minh Về Đại Đoàn Kết Dân Tộc

Cách 2:Ta tất cả $(x^2-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp cho n nhị vế có:

$eginarrayl (x^2 - x + 1)y^(n)(x) + n(2x - 1)y^(n - 1)(x) + n(n - 1)y^(n - 2)(x) = 0\ y^(n)(0) - ny^(n - 1)(0) + n(n - 1)y^(n - 2)(0) = 0 Leftrightarrow fracy^(n)(0)n! - fracy^(n - 1)(0)(n - 1)! + fracy^(n - 2)(0)(n - 2)! = 0\ u_n = fracy^(n)(0)n! Rightarrow u_n - u_n - 1 + u_n - 2 = 0.... endarray$

Câu 6. Tính đạo hàm cấp cao $y^(99)(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl y" = frac1sqrt 1 - x^2 Rightarrow (1 - x^2)y" = sqrt 1 - x^2 \ Rightarrow - 2xy" + (1 - x^2)y"" = - fracxsqrt 1 - x^2 = - xy"\ Leftrightarrow (1 - x^2)y"" - xy" = 0. endarray$

Do đó $left( (1-x^2)y""-xy" ight)^(n)=0$ và

$eginarrayl (1 - x^2)y^(n + 2)(x) - n.2x.y^(n + 1)(x) - n(n - 1)y^(n)(x) - xy^(n + 1)(x) - ny^(n)(x) = 0.\ Rightarrow y^(n + 2)(0) = n^2y^(n)(0) Rightarrow y^(99)(0) = 97^2y^(97)(0) = ... = (97.95...3.1)^2y"(0) = (97!!)^2. endarray$

Hiện tại dongan-group.com.vn sản xuất 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế tài chính của toàn bộ các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và cách thức giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài xích học. Khối hệ thống bài tập rèn luyện dạng tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn là kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học góp học viên lấy điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong những trường khiếp tế.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cứu Người Đuối Nước Đúng Cách Cứu Người Chết Đuối Nước

Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được full bộ này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH thương Mại

- học viện chuyên nghành Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH nước nhà Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH không giống trên mọi cả nước...