Baất đẳng thức cô si

     

Bất đẳng thức Cô-si: kim chỉ nan cần ghi ghi nhớ và những dạng bài xích tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si tốt bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và trung bình nhân của n số thực ko âm. Bài viết hôm nay, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ reviews về một số kiến thức bắt buộc nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một trong những dạng bài bác tập thường xuyên gặp. Bạn khám phá nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI




Bạn đang xem: Baất đẳng thức cô si

1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn sẽ xem: Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi lưu giữ và những dạng bài xích tập thường xuyên gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM.

Xem thêm: 12 Phong Tục Truyền Thống Cần Phải Gìn Giữ Trong Ngày Tết Cổ Truyền Việt Nam



Xem thêm: Link Người Phụ Nữ Không Mặc Quần Để Trẻ Con Sờ Vào Chỗ Nhạy Cảm

Có nhiều phương pháp để chứng minh bđt này tuy thế hay tuyệt nhất là cách chứng minh quy hấp thụ của Cauchy.


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và vừa đủ nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, cùng trung bình cùng chỉ bởi trung bình nhân khi còn chỉ khi n số đó bởi nhau.

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức Cô ham mê với n số thực ko âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

2. Các dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng thể của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đến hai số x > 0 và ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 vừa lòng điều kiện 

*
. Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, vận dụng bất đẳng thức Cô si mang đến hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*

Vậy minA = 4 khi còn chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với bố số a, b, c ko âm vừa lòng a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán giành được dấu bởi khi và đưa ra khi a = b = c = 1. Ta đã sử dụng phương pháp làm trội làm sút như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô đắm say cho bố số a, b, c không âm có:

*

Tương tự ta có 

*
 và 
*

Cộng vế cùng với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá bán trị bé dại nhất của các biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: biến đổi đổi 

*
 rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: phát triển thành đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là những số thực ko âm, triệu chứng minh:

*

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô si cho tía số a, b, c ko âm)

Bài 4: Cho cha số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)