If a, b, c are positive and unequal, then prove that

     

Hence or otherwise prove: $$colorbluefracab+c+fracba+c+fracca+bge frac32$$




Bạn đang xem: If a, b, c are positive and unequal, then prove that

*

*

Hint: Substitute $$b+c=x,a+c=y,a+b=z$$ so $$a=frac-x+y+z2$$$$b=fracx-y+z2$$$$c=fracx+y-z2$$And we get$$frac-x+y+z2x+fracx-y+z2y+fracx+y-z2zgeq frac32$$Can you finish?And we get $$fracxy+fracyx+fracyz+fraczy+fracxz+fraczxgeq 6$$


*



Xem thêm: Nhập Vai Ông Hai Kể Lại Chuyện Làng Của Kim Lân, Đóng Vai Ông Hai Kể Lại Chuyện Làng (13 Mẫu)

Hint:

$$fracab+c+fracba+c+fracca+bge frac32iff fraca+b+cb+c+fracb+a+ca+c+fracc+a+ba+bge frac32+3$$

$$iff ig(a+b+cig)cdot igg(frac1b+c+frac1a+c+frac1a+bigg)ge frac92iff colorbluefrac2cdot (a+b+c)3ge frac3frac1b+c+frac1a+c+frac1a+b$$ Which is trivial by the AM-HM inequality. Done!


*

Using AM-GM inequality:$$fracx_1+dots+x_nngeq (x_1dots x_n)^1/n$$let $n=3$ và $x_1=a+b,; x_2=b+c,; x_3=c+a$:$$frac2(a+b+c)3geq <(a+b)(b+c)(c+a)>^1/3$$




Xem thêm: Dịch Câu Này Ra Tiếng Việt: How Old Are You Dịch Sang Tiếng Việt Là Gì?

*

To minimize $fracab+c+fracbc+a+fracca+b$ , we need khổng lồ have$$eginalign0&=deltaleft(fracab+c+fracbc+a+fracca+b ight)\&=left(frac1b+c-fracb(c+a)^2-fracc(a+b)^2 ight)delta a\&+left(frac1c+a-fracc(a+b)^2-fraca(b+c)^2 ight)delta b\&+left(frac1a+b-fraca(b+c)^2-fracb(c+a)^2 ight)delta c ag1endalign$$for all $delta a,delta b,delta c$. That means$$eginalignfrac1a+b&=fraca(b+c)^2+fracb(c+a)^2 ag2\frac1b+c&=fracb(c+a)^2+fracc(a+b)^2 ag3\frac1c+a&=fracc(a+b)^2+fraca(b+c)^2 ag4endalign$$Subtract $(4)$ from the sum of $(2)$ and $(3)$:$$frac1b+c+frac1a+b-frac1c+a=frac2b(c+a)^2 ag5$$Add $frac2c+a$ and divide by $2(a+b+c)$:$$frac12(a+b+c)left(frac1b+c+frac1a+b+frac1c+a ight)=frac1(c+a)^2 ag6$$By symmetry,$$frac1(a+b)^2=frac1(b+c)^2=frac1(c+a)^2 ag7$$from which we get $a=b=c$. Thus, we get$$fracab+c+fracbc+a+fracca+bgefrac32 ag8$$